§ 14. Общие сведения

При выполнении графических работ приходится решать многие задачи на построение. Наиболее встречающиеся при этом задачи — деление отрезков прямой, углов и окружностей на равные части, построение различных сопряжений прямых с дугами окружностей и дуг окружностей между собой. Сопряжением называют плавный переход дуги окружности в прямую или в дугу другой окружности.

Наиболее часто встречаются задачи на построение следующих сопряжений: двух прямых дугой окружности (скруглением углов); двух дуг окружностей прямой линией; двух дуг окружностей третьей дугой; дуги и прямой второй дугой.

Построение сопряжений связано с графическим определением центров и точек сопряжения. При построении сопряжения широко используются геометрические места точек (прямые, касательные к окружности; окружности, касательные друг к другу). Это объясняется тем, что они основаны на положениях и теоремах геометрии.

§ 15. Деление отрезка прямой

Чтобы разделить заданный отрезок АВ на две равные части, точки его начала и конца принимают за центры, из которых проводят дуги радиусом, по величине превышающим половину отрезка АВ. Дуги проводят до взаимного пересечения, где получают точки С и D. Линия, соединяющая эти точки, разделит отрезок в точке К на две равные части (рис. 30, а).

Рис. 30

Чтобы разделить отрезок АВ на заданное количество равных участков п, под любым острым углом к АВ проводят вспомогательную прямую, на которой из общей заданной прямой точки откладывают п равных участков произвольной длины (рис. 30, б). Из последней точки (на чертеже — шестой) проводят прямую до точки В и через точки 5, 4, 3, 2, 1 проводят прямые, параллельные отрезку 6В. Эти прямые и отсекут на отрезке АВ заданное число равных отрезков (в данном случае 6).

§ 16. Деление окружности

Чтобы разделить окружность на четыре равные части, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра: на пересечении их с окружностью получаем точки, разделяющие окружность на четыре равные части (рис. 31, а).

Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, дуги, равные четвертой части окружности, делят пополам. Для этого из двух точек, ограничивающих четверть дуги, как из центров радиусов окружности выполняют засечки за ее пределами. Полученные точки соединяют с центром окружностей и на пересечении их с линией окружности получают точки, делящие четвертные участки пополам, т. е. получают восемь равных участков окружности (рис. 31, б).

На двенадцать равных частей окружность делят следующим образом. Делят окружность на четыре части взаимно перпендикулярными диаметрами. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью А, В, С, D за центры, величиной радиуса проводят четыре дуги до пересечения с окружностью. Полученные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и точки А, В, С, D разделяют окружность на двенадцать равных частей (рис. 31, в).

Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на 3, 5, 6, 7 равных участков.

Рис. 31

§ 17. Скругление углов

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса называют скруглением углов. Его выполняют следующим образом (рис. 32). Параллельно сторонам угла, образованного данными

Рис. 32

прямыми, проводят вспомогательные прямые на расстоянии, равном радиусу. Точка пересечения вспомогательных прямых является центром дуги сопряжения.

Из полученного центра О опускают перпендикуляры к сторонам данного угла и на пересечении их получают точки сопряжения А а В. Между этими точками проводят сопрягающую дугу радиусом R из центра О.

§ 18. Сопряжение дуг окружностей прямой линией

При построении сопряжения дуг окружностей прямой линией можно рассмотреть две задачи: сопрягаемая прямая имеет внешнее или внутреннее касание. В первой задаче (рис. 33, а) из центра дуги

Рис. 33

меньшего радиуса R1 проводят касательную вспомогательной окружности, проведенной радиусом R — RI. Ее точку касания Ко используют для построения точки сопряжения А на дуге радиуса R.

Для получения второй точки сопряжения А₁ на дуге радиуса R₁ проводят вспомогательную линию О₁ А₁параллельно О А. Точками A и А₁будет ограничен участок внешней касательной прямой.

Задача построения внутренней касательной прямой (рис. 33, б) решается, если вспомогательную окружность построить радиусом, равным R + R₁,

§ 19. Сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой

При построении сопряжения двух дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса можно рассмотреть три случая: когда сопрягающая дуга радиуса R касается заданных дуг радиусов R₁ и R₂ с внешней стороны (рис. 34, а); когда она создает внутреннее касание (рис. 34, б); когда сочетаются внутреннее и внешнее касания (рис. 34, в).

Построение центра О сопрягающей дуги радиуса R при внешнем касании осуществляется в следующем порядке: из центра О₁ радиусом, равным R + R₁, проводят вспомогательную дугу, а из центра O₂ проводят вспомогательную дугу радиусом R + R₂. На пересечении дуг получают центр О сопрягаемой дуги радиуса R, а на пересечении радиусом R + R₁и R + R₂ с дугами окружностей получают точки сопряжения А и А₁.

Построение центра О при внутреннем касании отличается тем, что из центра О₁ проводят вспомогательную окружность радиусом, равным R — R₁ а из центра О₂ радиусом R — R₂. При сочетании внутреннего и внешнего касания из центра О₁ проводят вспомогательную окружность радиусом, равным R — R₁, а из центра О₂ — радиусом, равным R + R₂.

§ 20. Сопряжение дуги окружности и прямой линии второй дугой

Здесь может быть рассмотрено два случая: внешнее сопряжение (рис. 35, а) и внутреннее (рис. 35, б). В том и в другом случае при построении сопрягающей дуги радиуса R центр сопряжения О лежит на пересечении геометрических мест точек, равно удаленных от прямой и дуги радиуса R на величину R₁.

При построении внешнего сопряжения параллельно заданной прямой на расстоянии R₁ в сторону окружности проводят вспомогательную прямую, а из центра О радиусом,равным R + R₁,— вспомогательную окружность, и на их пересечении получают точку О₁ — центр сопрягающей окружности. Из этого центра радиусом R проводят сопрягающую дугу между точками А и А₁, построение которых видно из чертежа.

Рис. 34

Рис. 35

Построение внутреннего сопряжения отличается тем, что из центра О проводят вспомогательную дугу радиусом, равным R — R₁.

§21. Овалы

Плавные выпуклые кривые, очерченные дугами окружностей разных радиусов, называют овалами. Овалы состоят из двух опорных окружностей с внутренними сопряжениями между ними.

Различают овалы трехцентровые и многоцентровые. При вычерчивании многих деталей, например кулачков, фланцев, крышек и других, контуры их очерчивают овалами. Рассмотрим пример построения овала по заданным осям. Пусть для четырехцентрового овала, очерченного двумя опорными дугами радиуса R и двумя сопрягающими дугами радиуса r , заданы большая ось АВ и малая ось CD. Величину радиусов R u r надо определить путем построений (рис. 36). Соединим концы большой и малой оси отрезком AС, на котором отложим разность СЕ большой и малой полуосей овала. Проведем перпендикуляр к середине отрезка AF, который пересечет большую и малую оси овала в точках О₁ и О₂. Эти точки будут центрами сопрягающихся дуг овала, а точка сопряжения будет лежать на самом перпендикуляре.

Рис. 36

§ 22. Лекальные кривые

Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду эвольвенту и др.

Эллипс представляет собой замкнутую плоскую кривую второго порядка. Она характеризуется тем, что сумма расстояний от любой ее

Рис. 36

Рис. 37

точки до двух точек фокусов есть величина постоянная, равная большей оси эллипса. Построить эллипс можно несколькими способами. Например, можно построить эллипс по его большой АВ и малой CD осям (рис. 37, а). На осях эллипса как на диаметрах строят две окружности, которые можно разделить радиусами на несколько частей. Через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса, а через точки деления малой окружности — прямые, параллельные большой оси эллипса. Точки пересечения этих прямых и являются точками эллипса.

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рис. 37,б) MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки эллипса.

Параболой называют незамкнутую кривую второго порядка, все точки которой равно удалены от одной точки — фокуса и от данной прямой — директрисы.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рис. 38, а). С этой целью строят прямоугольник ОABC и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямой с заданными на них точками А и В (рис. 38, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и ну-

Рис. 38

меруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую этих прямых.

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим асимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Рис. 39

Рис. 40

Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рис. 39). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА], отмечают промежуточное положение точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра О₁, получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, получают циклоиду.

Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рис. 40) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2лR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

Рис. 41

Эвольвентой называют плоскую кривую, являющуюся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Построение эвольвенты выполняют в следующем порядке (рис. 41): окружность делят на равные части; проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону и проходящие через каждую точку деления; на касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности 2лR, который делят на столько же равных частей. На первой касательной откладывают одно деление 2лR/n , на второй — два и т. д.

Полученные точки соединяют плавной кривой и получают эвольвенту окружности.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Как разделить отрезок пополам?

2. Как разделить окружность на четыре, восемь, двенадцать частей?

3. Раскройте принцип построения скругления углов.

4. Что такое сопряжение?

5. Какие виды сопряжения вы знаете?

6. Какие элементы определяют сопряжение?

7. Какие кривые второго порядка вы знаете?

8. Что такое овал?

9. Дайте определения лекальных кривых.

10. Раскройте принципы построения эллипса.

11. Какая кривая называется параболой?

12. Какая кривая называется гиперболой?

13. Дайте определение циклоиды.

14. Раскройте принципы построения синусоиды.

15. Какая плоская кривая называется эвольвентой?